\documentclass[12pt]{article}

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\def\R{\mathbb{R}}
\def\Ker{\operatorname{Ker}}
\def\Im{\operatorname{Im}}
\def\Mat{\operatorname{Mat}}

\begin{document}

\title{Wissenschaftliches Rechnen}
\author{Probeklausur}
\date{14.07.2025}
\maketitle
% \vfill
% {\baselineskip=40pt
% \begin{tabbing}\
% Student ID Number: \= \kill
% Vorname: \> \rule[-2pt]{10cm}{0.3pt} \\
% Nachname:  \> \rule[-2pt]{10cm}{0.3pt} \\
% Unterschrift: \> \rule[-2pt]{10cm}{0.3pt} \\
% %Code: \> \fbox{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5ex}{0pt}}
% %\fbox{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5ex}{0pt}}
% %\fbox{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5ex}{0pt}}
% %\fbox{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5ex}{0pt}}
% \end{tabbing}}
% \vfill\vfill\mbox{}


% \newpage
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie die LR-Zerlegung der Matrix
\[
  A = 
  \begin{pmatrix}
    1 & 1 & 1 \\
    -1 & 1 & 1 \\
    0 & -1 & 1
  \end{pmatrix} \,.
\]
\hfill(10)

\item Beurteilen Sie die Verwendung der (i) LR-Zerlegung, (ii)
Cholesky-Zerlegung und (iii) QR-Zerlegung zur Lösung eines linearen
Gleichungssystems $Ax=b$ bezüglich folgender Kriterien:
\begin{enumerate}
\item Welche Eigenschaften der Matrix $A$ werden vorausgesetzt?
\item Ist
eine Pivotierungsstrategie notwendig?
\item Wie verhalten sich die Algorithmen bezüglich der Anzahl der
benötigten Rechenoperationen?
\item Sind die Algorithmen jeweils numerisch stabil?
\end{enumerate}
\emph{Hinweis:} Beweise sind nicht verlangt, aber formulieren Sie Ihre
Antwort so konkret wie sinnvoll möglich.
\hfill(10)
\item Sei $b \in \R^n$ fest und $f \colon \Mat_{n \times n}(\R) \to \R^n$ definiert durch
\[
  A \mapsto (I-A)^{-1} b \,.
\]
Gegeben sei weiterhin eine Vektornorm $\lVert \, \cdot \, \rVert$ auf
dem $\R^n$ mit zugeordneter Operatornorm.
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass für die relative normweise Konditionszahl von
$f$ gilt,
dass
\[
  \kappa_{\text{rel}}
  \leq \lVert (I-A)^{-1} \rVert \, \lVert A \rVert \,.
\]
\item Schließen Sie, dass das Problem für Matrizen $A$ mit kleiner
Operatornorm wohlkonditioniert ist.  Konkretisieren Sie dabei den
Begriff "`kleine Operatornorm"'.

\end{enumerate}
\emph{Hinweis:} In der Übung hatten Sie bewiesen, dass
\[
  \lVert (I-A)^{-1} \rVert \leq \frac1{1 - \lVert A \rVert} \,.
\]
Sie dürfen dieses Ergebnis ohne Beweis zitieren.
\hfill (5+5)

\item Gegeben sei die Funktion
\[
  f(x) = 1 - (1-x)^2 \,.
\]
\begin{enumerate}
\item Die Funktion werde ohne Umformung in Fließkommaarithmetik
berechnet.  Zeigen Sie, dass diese Berechnung für kleine $x$ numerisch
instabil ist.

\item Formen Sie die Funktion so um, dass sie uneingeschränkt stabil
in Fließkommaarithmetik berechnet werden kann.  Führen Sie den Beweis
der numerischen Stabilität.
\end{enumerate}
\hfill (5+5)


\item Sei $A \in \Mat_{m \times n}(\R)$ mit $m \geq n$ eine Matrix mit
maximalem Rang.  Zeigen Sie, dass $A^TA$ invertierbar ist.
\hfill (5)

\item Zu festen $x_1, \dots, x_m$ seien fehlerbehaftete Messwerte
$y_1, \dots, y_m$ gegeben.  Es wird eine affin-lineare Abhängigkeit
angenommen, also
\[
  y = a \, x + c \,.
\]
Es gilt, $a$ und $c$ so zu bestimmen, dass der quadratische Fehler
\[
  E = \sum_{i=1}^m (y_i - (a \, x_i +c))^2
\]
minimal wird.
\begin{enumerate}
\item Formulieren Sie diese Aufgabe als lineares Ausgleichsproblem in
Matrixschreibweise, also
\[
  \text{minimiere } \lVert b - Ax \rVert_2 \,.
\]
Wie lauten $A$ und $b$?  Wie ist der Lösungsvektor $x$ zu interpretieren?

\item Schreiben sie eine Lösungsformel für dieses Problem mit Hilfe
der QR-Zerlegung auf.  Geben Sie dabei die Dimension aller
auftretenden Matrizen an.
\end{enumerate}
\hfill (5+5)
\end{enumerate}

\end{document}
