\documentclass[12pt]{article}

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\def\R{\mathbb{R}}
\def\Ker{\operatorname{Ker}}
\def\Im{\operatorname{Im}}
\def\Mat{\operatorname{Mat}}

\begin{document}

\title{Wissenschaftliches Rechnen}
\author{Nachklausur}
\date{06.10.2025}
% \maketitle
% \vfill
% {\baselineskip=40pt
% \begin{tabbing}\
% Student ID Number: \= \kill
% Vorname: \> \rule[-2pt]{10cm}{0.3pt} \\
% Nachname:  \> \rule[-2pt]{10cm}{0.3pt} \\
% Unterschrift: \> \rule[-2pt]{10cm}{0.3pt} \\
% %Code: \> \fbox{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5ex}{0pt}}
% %\fbox{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5ex}{0pt}}
% %\fbox{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5ex}{0pt}}
% %\fbox{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5ex}{0pt}}
% \end{tabbing}}
% \vfill\vfill\mbox{}


% \newpage
\begin{enumerate} 
\item Sei
\[
  A = 
  \begin{pmatrix}
    0 & 1 & 4 & 3 \\
    3 & 3 & 0 & 0 \\
	1 & 2 & 2 & 2 \\
	2 & -2 & 1 & 0
  \end{pmatrix} \,.
\]
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie die LR-Zerlegung mit Spaltenpivotierung der Matrix
$A$, d.h., bestimmen Sie eine Permutationsmatrix $P$, unipotente
untere Dreiecksmatrix $L$ und obere Dreiecksmatrix $R$, so dass
$PA=LR$.
\item Lösen Sie das Gleichungssystem $Ax=b$ unter Verwendung der
Zerlegung aus (a) für
\[
  b = (8, 6, 7, 1)^T
\]
\end{enumerate}
\hfill(15+5)
% \newpage
% (leeres Blatt)
% \newpage

\item
\begin{enumerate}
\item
Für welche $\alpha, \beta \in \R$ in
\[
  A=\begin{pmatrix}
	\alpha & -1 & \beta \\ -1 & \alpha & -1\\ 0 & -1 & \alpha
    \end{pmatrix}
\]
sind die Bedingungen f\"ur die Cholesky-Zerlegung erf\"ullt?

\item Berechnen Sie die Cholesky-Zerlegung der Matrix
\[
  A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\2 & 8 & 2\\1 & 2 & 2\end{pmatrix}.
\]
\end{enumerate}
\hfill(7+8)
%\newpage

\item Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?  Begründen Sie
Ihre Antworten sorgfältig.

\begin{enumerate}
\item Sei $ v \in \R^{n-k}$ mit $1 \le k \le n$ und definiere
\begin{align*}
	U_v = \begin{pmatrix}
		1 & 0 & & \cdots & & &0 \\
		0 & 1 & 0 & \cdots & & & 0 \\
		& & \ddots & & & \\
		& & & 1 & & & \vdots \\
		\vdots & & & v_1 & & & \\
		& & & \vdots & & \ddots & \\
		0 & & & v_{n-k} & & & 1
	\end{pmatrix}.
\end{align*}
Es gilt $ (U_{v})^{-1} = U_{-v}$.
\item Seien $A\in L(X,Y)$ und $B\in L(Y,Z)$. Es gilt $\lVert BA
\rVert_{L(X,Z)} \le \lVert B \rVert_{L(Y,Z)} \, \lVert A \rVert_{L(X,Y)}$.
\item Die Konditionszahl der $2\times 2$-Matrix
\[
  A =\begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\]
ist klein f\"ur alle $\alpha \in \R$.

\item LR-Zerlegung ist aufwendiger als Cholesky- und QR-Zerlegung.
\item In der QR-Zerlegung der Matrix $A \in \Mat_{m\times n}(\R)$ ist
die obere Dreicksmatrix $R$ genau dann invertierbar wenn $m = n$ und
$A$ invertierbar ist.
\end{enumerate}
\hfill(5+5+5+5+5)
% \newpage
% (leeres Blatt)
% \newpage

\item Zeigen Sie, dass die Berechnung der Summe
\[
  s \colon \R^n \to \R \,, \qquad
  (x_1, \dots, x_n) \mapsto \sum_{j = 1}^n x_j
\]
numerisch stabil ist.
\hfill(10)
%\newpage

\item Zeigen Sie, dass das Fixpunktverfahren $x_{k+1} = A {x_k} + c$
mit $A \in \Mat_{n}(\R)$ symmetrisch und $c \in \R^n$ genau dann
konvergiert, wenn $\rho(A)<1$, wobei $\rho(A)$ der Spektralradius von
$A$ ist.  (Also
$\rho(A) = \max \{\lvert \lambda_1\rvert, \dots, \lvert \lambda_n
\rvert \}$ mit $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ den Eigenwerten von $A$.)
\mbox{~~~~~~~~~~~~}\hfill(10)


% \newpage
% (leeres Blatt)
\end{enumerate}

\end{document}
