\documentclass[12pt]{article}

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\def\R{\mathbb{R}}
\def\Ker{\operatorname{Ker}}
\def\Im{\operatorname{Im}}
\def\Mat{\operatorname{Mat}}

\begin{document}

\title{Wissenschaftliches Rechnen}
\author{Abschlussklausur}
\date{08.08.2025}
\maketitle
% \vfill
% {\baselineskip=40pt
% \begin{tabbing}\
% Student ID Number: \= \kill
% Vorname: \> \rule[-2pt]{10cm}{0.3pt} \\
% Nachname:  \> \rule[-2pt]{10cm}{0.3pt} \\
% Unterschrift: \> \rule[-2pt]{10cm}{0.3pt} \\
% %Code: \> \fbox{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5ex}{0pt}}
% %\fbox{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5ex}{0pt}}
% %\fbox{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5ex}{0pt}}
% %\fbox{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5ex}{0pt}}
% \end{tabbing}}
% \vfill\vfill\mbox{}


% \newpage
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie die LR-Zerlegung der Matrix
\[
  A = 
  \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    -1 & 2 & 2 \\
    -1 & -6 & -2
  \end{pmatrix} \,.
\]
\hfill(10)
%\newpage

\item Zeigen Sie, dass die LR-Zerlegung einer Matrix $A \in
\Mat_{n\times n}(\R)$ ohne Pivotierung
\[
  N \doteq \frac13 \, n^3
\]
Multiplikationen benötigt.
\hfill(5)
%\newpage
\item Sei $b \in \R^m$ und $A \in \Mat_{m \times n}(\R)$ mit $m \geq
n$ und maximalem Rang.
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass
\[
  \lVert b - Ax \rVert_2
\]
minimal wird genau dann wenn
\[
  x = (A^TA)^{-1} A^Tb \,.
\]

\item Zeigen Sie, dass
\[
  \lVert (A^TA)^{-1} A^T \rVert_2
  = \frac1{\displaystyle \min_{\lVert z \rVert_2 = 1} \lVert Az \rVert_2} \,.
\]
\item Schließen Sie daraus, dass für die Lösungsabbildung aus Teil (a),
\[
  b \mapsto (A^TA)^{-1} A^Tb
\]
gilt, dass die relative Konditionszahl bezüglich der $2$-Norm der
Abschätzung
\[
  \kappa_{\text{rel}}
  \leq \frac{\lVert b \rVert_2}{\lVert Ax \rVert_2} \,
    \kappa_2(A)
\]
genügt.
\item Wie unterscheidet sich die relative Konditionszahl aus Teil (c)
von der relativen Konditionszahl (ebenfalls bezüglich der $2$-Norm)
eines linearen Gleichungssystems mit quadratischer nichtsingulärer
Matrix $A$?  Wann ist das lineare Ausgleichsproblem wesentlich
schlechter konditioniert?
\end{enumerate}
\emph{Hinweis:} Die Konditionszahl bezüglich der $2$-Norm für eine
nichtquadratische Matrix ist definiert
\[
  \kappa_2(A) = \frac{\displaystyle \max_{\lVert z \rVert_2 = 1}
  \lVert Az \rVert_2}{\displaystyle \min_{\lVert z \rVert_2 = 1}
  \lVert Az \rVert_2} \,.
\]
\hfill (5+5+5+5)
% \newpage
% Zusatzblatt Lösung Aufgabe 3.
% \newpage

\item Gegeben sei die Funktion $f \colon [0,\infty) \to \R$,
\[
  f(x) = 1 - \frac{x}{x+1} \,.
\]
\begin{enumerate}
\item Die Funktion werde ohne Umformung in Fließkommaarithmetik
berechnet.  Zeigen Sie, dass diese Berechnung für große $x$ numerisch
instabil ist.

\item Formen Sie die Funktion so um, dass sie uneingeschränkt stabil
in Fließkommaarithmetik berechnet werden kann.  Führen Sie den Beweis
der numerischen Stabilität.
\end{enumerate}
\hfill (5+5)
%\newpage



    

\item Zu festen $x_1, \dots, x_m$ seien fehlerbehaftete Messwerte
$y_1, \dots, y_m$ gegeben.  Es wird eine quadratische Abhängigkeit
angenommen, also
\[
  y = c_0 + c_1 \, x + c_2 \, x^2 \,.
\]
Es gilt, die Koeffizienten $c_0, c_1$ und $c_2$ so zu bestimmen, dass
der quadratische Fehler
\[
  E = \sum_{i=1}^m (y_i - (c_0 + c_1 \, x_i + c_2 \, x_i^2))^2
\]
minimal wird.
\begin{enumerate}
\item Formulieren Sie diese Aufgabe als lineares Ausgleichsproblem in
Matrixschreibweise.

\item Das Ausgleichsproblem kann sowohl (i) über die QR-Zerlegung oder
(ii) über die Cholesky-Zerlegung der Normalgleichung (vergl.\ auch
Aufgabe 3) gelöst werden.  Beurteilen Sie beide Lösungswege
hinsichtlich der Anzahl der Rechenoperationen sowie der numerischen
Stabilität.
\end{enumerate}
\hfill (5+5)
% \newpage
% Leeres Zusatzblatt.
\end{enumerate}

\end{document}
