\documentclass[12pt]{article}

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\def\R{\mathbb{R}}
\def\Ker{\operatorname{Ker}}
\def\Im{\operatorname{Im}}

\begin{document}

\title{Wissenschaftliches Rechnen -- Wiederholungsaufgaben}
\author{Sommersemester 2025}
\date{Zur Besprechung am 01.08.2025 um 16:00}
\maketitle

\begin{enumerate}
\item Sei \[
  A = 
  \begin{pmatrix}
    1 & 1 & 1 \\
    -1 & 1 & 1 \\
    0 & -1 & 1
  \end{pmatrix} \,.
\]

\begin{enumerate}
\item Führen Sie eine QR-Zerlegung mit dem Gram--Schmidt-Verfahren
durch.
\item Führen Sie eine QR-Zerlegung mit Givens-Rotationen durch.  (Ein
Schritt reicht, da die Rechnung aufwändiger ist.)
\end{enumerate}

\item Führen Sie eine Cholesky-Zerlegung der Matrix
\[
  A = 
  \begin{pmatrix}
    2 & -1 & 0 \\
    -1 & 2 & -1 \\
    0 & -1 & 2
  \end{pmatrix}
\]
durch.

\item Sei $\lVert \cdot \rVert$ eine Operatornorm.  Zeigen Sie, dass
für den Spektralradius einer Matrix $A$ gilt, dass
$\rho(A) \leq \lVert A \rVert$.

\item Sei $A$ eine symmetrisch positiv-definite Matrix.  Zeigen Sie,
dass sich $\omega$ so wählen lässt, dass die gedämpfte
Richardson-Iteration
\[
  x_{k+1} = x_k + \omega \, (b-Ax_k)
\]
konvergiert.

\item Deuflhard/Hohmann, Aufgabe 8.2


\end{enumerate}

\end{document}
