\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{fullpage,amsmath,amsfonts,enumitem}

\def\R{\mathbb{R}}
\def\Ker{\operatorname{Ker}}
\def\Im{\operatorname{Im}}

\begin{document}

\title{Wissenschaftliches Rechnen -- Übungsaufgaben}
\author{Sommersemester 2025}
\date{Zur Besprechung am 07.07.2025}
\maketitle

\begin{enumerate}
\item Sei $A \in \operatorname{Mat}_{m \times n}(\R)$ mit $b \in \Im
A$ und $\Ker A \neq \{0\}$.  Damit ist das lineare Gleichungssystem
\[
  Ax = b
\]
lösbar, die Lösung aber nicht eindeutig.  Um eine kanonische Wahl zu
treffen, suchen wir die Lösung $x \in \R^n$ mit kleinster 2-Norm.
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass die Lösung kleinster 2-Norm als Teil des
Lösungsvektors des erweiterten linearen Gleichungssystems
\begin{equation*}
  \begin{pmatrix}
    I & A^T \\ A & 0
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    x \\ m
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    0 \\ b
  \end{pmatrix}
\end{equation*}
berechnet werden kann.

\item Zeigen Sie, dass das erweitere Gleichungssystem in (a)
konsistent ist genau dann wenn $b \in \Im A$.

\item Zeigen Sie, dass
\[
  \Ker
  \begin{pmatrix}
    I & A^T \\ A & 0
  \end{pmatrix}
  = \left\{
  \begin{pmatrix}
    0 \\ u 
  \end{pmatrix} \in \R^{n+m} \colon
  u \in \Ker A^T
  \right\} \,.
\]
Schließen Sie daraus, dass $x$ in Aufgabenteil (a) eindeutig bestimmt ist. 

\end{enumerate}


\item Sei $Q \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(\R)$ orthogonal.
Zeigen Sie, dass $\kappa_2(Q)=1$.

\item Sei $A \in \operatorname{Mat}_{m \times n}(\R)$ mit $m>n$ und
$QR$-Zerlegung
\begin{equation*}
  A = Q
  \begin{pmatrix}
    R_1 \\ 0
  \end{pmatrix} = Q_1 R_1 \,,
\end{equation*}
wobei $Q$ eine Orthogonalmatrix und $R_1$ eine nichtsinguläre rechte
obere Dreiecksmatrix ist.

Zeigen Sie: Das lineare Gleichungssystem $Ax=b$ hat eine Lösung genau
dann wenn $b = Q_1 Q_1^T b$.

\item Berechnen Sie die reduzierte $QR$-Zerlegung für die Matrix
\[
  A =
  \begin{pmatrix}
    0 & \sqrt 2 \\ -1 & 1 \\ 1 & -1
  \end{pmatrix}\,.
\]

\item Sei $W \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(\R)$ eine SPD-Matrix.
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass
\[
  \lVert x \rVert_W^2 = x^T W x
\]
eine Norm auf dem $\R^n$ definiert.  (Hinweis: Benutzen Sie die
Cholesky-Zerlegung der Matrix $W$!)

\item Leiten Sie die Normalengleichung zur Lösung des
verallgemeinerten Ausgleichsproblems
\[
  \lVert b - Ax \rVert_W \text{ minimal}
\]
her.
\end{enumerate}



\end{enumerate}

\end{document}
