\documentclass[12pt]{article}

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\def\R{\mathbb{R}}
\def\Ker{\operatorname{Ker}}
\def\Im{\operatorname{Im}}

\begin{document}

\title{Wissenschaftliches Rechnen -- Übungsaufgaben}
\author{Sommersemester 2025}
\date{Zur Besprechung am 30.06.2025}
\maketitle

\begin{enumerate}
\item Beweisen Sie Satz 2.36 im Deuflhard/Hohmann unter Verwendung von
Satz~2.34 und Lemma~2.35, mit der abgeschwächten Konstanten $3n$
anstelle von $2n$.

\item Deuflhard/Hohmann, Aufgabe, 2.20

\item Lesen Sie Deuflhard/Hohmann, Seiten 62--64 bis Bemerkung 3.8
einschließlich durch.

Führen Sie den Beweis von Satz 3.7 alternativ direkt, ohne Bezugnahme
auf Satz 3.4.  Gehen Sie dabei folgenderweise vor.  Für die
"`Hinrichtung"' betrachten Sie die Funktion $f \colon \R^n \to \R$,
\[
  f(x) = \lVert b -Ax \rVert^2
       = (b-Ax)^T (b-Ax) \,.
\]
Die notwendige Bedingung zur Existenz des Minimums ist das
Verschwinden der ersten Ableitung.  Berechnen Sie diese (die
Verwendung der variationelle Ableitung in $\delta$-Notation
erleichtert die Rechnung wie schon in früheren Beispielen aus der
Vorlesung).  Die Rechnung führt auf einen Ausdruck, der einer Zeile
der Folge der Äquivalenzumformungen aus dem Beweis vom
Deuflhard/Hohmann entspricht.

Ergänzen sie dann das Argument um die notwendigen Erläuterungen.  Dazu
gehört insbesondere, warum die Lösung nicht nur notwendig, sondern
schon hinreichend ist.  Ebenfalls ist die "`Rückrichtung"' noch einmal
getrennt zu argumentieren, wobei Sie ggf.\ noch Ideen aus dem Beweis
von Satz~3.4 ziehen müssen.

\item Zeigen Sie, dass die "`Normalgleichungen"' aus
Deuflhard/Hohmann, Satz 3.7 äquivalent sind zu
\[
\begin{pmatrix}
  I & A \\ A^T & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
r \\ x 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  b \\ 0
\end{pmatrix} \,,
\]
wobei die Komponenten $r$ in dieser Formulierung genau dem Residuum
der Ausgleichslösung entsprechen.

\item Rechnen Sie den Beweis von Deuflhard/Hohmann, Satz 3.13 explizit
nach.  (Die Darstellung im Buch ist vollständig, es geht also nur
darum, ein zentrales Resultat noch einmal nachzuvollziehen.)


\end{enumerate}

\end{document}
