\documentclass[12pt]{article}

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\def\R{\mathbb{R}}
\def\Ker{\operatorname{Ker}}
\def\Im{\operatorname{Im}}
\def\Mat{\operatorname{Mat}}

\begin{document}

\title{Wissenschaftliches Rechnen -- Übungsaufgaben}
\author{Sommersemester 2025}
\date{26.05.2025 \& 02.06.2025}
\maketitle

\begin{enumerate}
\item Betrachten Sie die Lösung der quadratischen Gleichung
\[
  x^2 - 2 \, x + q = 0
\]
mittels der "`$p$-$q$-Formel"'.  Eine der Lösungen als Funktion des
Parameters $q$ ist gegeben durch
\[
  f(q) = 1 - \sqrt{1-q} \,.
\]
\begin{enumerate}
\item Berechenen Sie absolute und relative Konditionszahl dieser
Lösungsformel.
\item Die Lösungsformel wird nun in Fließkommaarithmetik berechnet.
Bestimmen Sie den Stabilitätsindikator.  Schließen Sie, dass die
Lösungsformel für solche $q$ numerisch instabil ist.
\item Zeigen Sie, dass die äquivalente Lösungsformel
\[
  g(q) = \frac{q}{1+\sqrt{1-q}}
\]
numerisch stabil ist.
\end{enumerate}

\item Deuflhard/Hohmann, Aufgabe 2.11.

\item Deuflhard/Hohmann, Aufgabe 2.16.  Zur Vereinfachung dürfen Sie
annehmen, dass der Stichprobenmittelwert exakt berechnet wurde.


\item (Nach Deuflhard/Hohmann, Aufgabe 2.18.)  Gegeben Sei die Matrix
\begin{gather*}
  A_\varepsilon =
  \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon
  \end{pmatrix}
\intertext{und die beiden rechten Seiten}
  b_1 = (1,1)^T \qquad \text{und} \qquad b_2 = (-1,1)^T \,.
\end{gather*}
Berechnen Sie:
\begin{enumerate}
\item Die normweise Kondition $\kappa_\infty$ bezüglich der
$\infty$-Norm.
\item Die  Skeelsche Kondition 
\[
  \kappa_C(A)
  = \lVert \lvert A^{-1} \rvert \lvert A \rvert \rVert_{\infty} \,,
\]
wobei $\lvert A \rvert$ den \emph{elementweisen} Absolutwert einer
Matrix bezeichnet, $\lvert A^{-1} \rvert \lvert A \rvert$ also
wiederum eine Matrix ist, die bezüglich der Zeilensummennorm
abzuschätzen ist.

\item Betrachten Sie die Lösungsabbildungen
\[
  \varepsilon \mapsto A_\varepsilon^{-1} b_i
\]
$b=1,2$, und berechnen Sie absolute und relative Kondition bezüglich
Störungen in $\varepsilon$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}
