\documentclass[12pt]{article}

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\def\R{\mathbb{R}}
\def\Ker{\operatorname{Ker}}
\def\Im{\operatorname{Im}}
\def\Mat{\operatorname{Mat}}

\begin{document}

\title{Wissenschaftliches Rechnen -- Übungsaufgaben}
\author{Sommersemester 2025}
\date{19.05.2025}
\maketitle

\begin{enumerate}
\item Sei $\lVert \, \cdot \, \rVert_X$ eine Norm auf $X=\R^n$ und
$\lVert \, \cdot \rVert_Y$ eine Norm auf $Y=\R^m$.  Die
zugeordete Matrixnorm (oder Operatornorm) einer Matrix $A \in
\Mat_{m,n}(\R)$ ist gegeben durch
\begin{equation*}
  \lVert A \rVert
  = \sup_{x \neq 0} \frac{\lVert Ax \rVert_Y}{\lVert x \rVert_X} \,.
  \tag{*}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Überprüfen Sie, dass (*) wirklich eine Norm definiert.
\item Zeigen Sie, dass die Matrixnorm die kleinste reelle Zahl $c$
ist, so dass
\begin{equation*}
  \lVert Ax \rVert_Y \leq c \, \lVert x \rVert_X
\end{equation*}
für alle $x \in \R^n$.
\end{enumerate}

\item Deuflhard/Hohmann, Aufgabe 2.8

\item \begin{enumerate}
\item
Zeige, dass die Matrix-2-Norm einer Matrix $A \in \Mat_{n}(\R)$
gegeben ist durch den größten Singulärwert von, d.h.
\[
  \lVert A \rVert_2 = \max_{i} \sqrt{\lambda_i} \,,
\]
wobei $\{ \lambda_i \}$ die (immer nicht-negativen) Eigenwerte von
$A^TA$ sind.  Man spricht daher auch von der "`Spektralnorm"'.

\item Zeige am Beispiel, dass $\lVert A \rVert_2$ im Allgemeinen nicht
mit den Eigenwerten von $A$ selbst zusammenhängt.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
