\documentclass[12pt]{article}

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\def\R{\mathbb{R}}
\def\Ker{\operatorname{Ker}}
\def\Im{\operatorname{Im}}

\begin{document}

\title{Wissenschaftliches Rechnen -- Übungsaufgaben}
\author{Sommersemester 2025}
\date{12.05.2025}
\maketitle

\begin{enumerate}
\item Lesen Sie Abschnitt 1.4 im Deuflhard/Hohmann aufmerksam.
Beantworten Sie dabei schriftlich die folgenden Fragen:
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, der Notation im Deuflhard/Hohmann folgend, dass
\[
  L_1 A^{(1)} L_1^T
  = 
  \begin{pmatrix}
    a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
    0 \\
    \vdots&& B^{(2)} \\
    0 
  \end{pmatrix} \,.
\end{equation*}

\item Zeigen Sie explizit, dass $L_1 A^{(1)} L_1^T$ auch wieder
symmetrisch positiv definit ist, ohne Verwendung des Sylvester'schen
Trägheitssatzes.

\item Schreiben Sie den Beweis von Satz 1.11 im Detail auf.

\item Schreiben Sie die Herleitung des Algorithmus auf Seite~17 in
Blockmatrixschreibweise auf, um die Struktur des Argumentes noch
klarer darzustellen.
  
\end{enumerate}

\item (Nach Deuflhard/Hohmann Aufgabe 1.7.)
\begin{enumerate}
\item Die reelle Matrix
\begin{equation*}
  S =
  \begin{pmatrix}
    a & b \\ b & c
  \end{pmatrix}
\end{equation*}
sei symmetrisch positiv definit.  Zeigen Sie, dass
\[
  b^2 < a \, c \,.
\]
\item Folgern Sie, dass
\[
  \lvert b \rvert < \frac{a}2 + \frac{c}2 \,.
\]
\item Sei nun $A \in \operatorname{Mat}_n(\R)$ symmetrisch positiv
definit.  Zeigen Sie, dass jede Teilmatrix
\begin{equation*}
  \begin{pmatrix}
    a_{ii} & a_{ij} \\ a_{ji} & a_{jj}
  \end{pmatrix}
\end{equation*}
symmetrisch positiv definit ist.

\item Folgern Sie schließlich, dass
\[
  \max_{i,j} \, \lvert a_{ij} \rvert = \max_i a_{ii} \,.
\]

\item Was bedeutet dieses Resultat für die Suche nach Pivotelementen?

\end{enumerate}

\item Deuflhard/Hohmann Aufgabe 1.8



\end{enumerate}

\end{document}
