\documentclass[12pt]{article}

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\def\R{\mathbb{R}}
\def\Ker{\operatorname{Ker}}
\def\Im{\operatorname{Im}}

\begin{document}

\title{Wissenschaftliches Rechnen -- Übungsaufgaben}
\author{Sommersemester 2025}
\date{28.04.2025}
\maketitle

\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass sich die "`Fredholm Alternative"' in der
(endlichdimensionalen) linearen Algebra auch folgendermaßen
formulieren lässt:

Sei $A \colon \R^n \to \R^m$ ein linerer Operator und $b \in \R^m$.
Dann gilt $b \in \Im A$ genau dann wenn $b \perp \Ker A^T$.

\item Sei $L_k$ die Frobeniusmatrix
\begin{equation*}
  L_k =
  \begin{pmatrix}
    1 \\
    & \ddots \\
    && 1 \\
    && -l_{k+1,k} & 1 \\
    && \vdots && \ddots \\
    && -l_{n,k} &&& 1
  \end{pmatrix} \,.
\end{equation*}
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}
\item $L_k^{-1}$ hat die gleichen Einträge wie $L_k$, wobei sich das
Vorzeichen der Nichtdiagonalelemente umkehrt.

\item $\displaystyle L_1^{-1} \dots L_{n-1}^{-1} =
\begin{pmatrix}
  1 \\
  l_{21} & 1 \\
  l_{31} & l_{32} & 1 \\
  \vdots && \ddots & \ddots \\
  l_{n1} & \cdots & \cdots & l_{n,n-1} & 1 
\end{pmatrix}$
\end{enumerate}

\item Deuflhard/Hohmann Aufgabe 1.1
\item Deuflhard/Hohmann Aufgabe 1.2
\item Deuflhard/Hohmann Aufgabe 1.3



\end{enumerate}

\end{document}
