\documentclass[12pt]{article}

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\begin{document}

\title{Quantitative Methoden}
\author{Sommersemester 2022}
\date{Zur Besprechung am 01.07.2022}
\maketitle

\begin{enumerate}
\item Minimiere
\[
  z = 3 \, x_1 + 2 \, x_2
\]
unter den Nebenbedingungen
\begin{gather*}
  2 \, x_1 + x_2 \geq 6 \,, \\
  x_1 + x_2 \geq 4 \\
  x_1, x_2 \geq 0 \,.
\end{gather*}
Schreiben Sie das Problem in Standardform und lösen Sie es mit der
Simplexmethode.

\item Die Probleme
\[
  \text{maximiere } z = \boldsymbol{c}^T \boldsymbol{x}
\]
unter den Nebenbedingungen
\begin{gather*}
  A\boldsymbol{x} \leq \boldsymbol{b} \,, \\
  \boldsymbol{x} \geq 0 
\end{gather*}
und
\[
  \text{minimiere } z = \boldsymbol{b}^T \boldsymbol{y}
\]
unter den Nebenbedingungen
\begin{gather*}
  A^T \boldsymbol{y} \geq \boldsymbol{c} \,, \\
  \boldsymbol{y} \geq 0 
\end{gather*}
sind dual zueinander.

Schreiben sie das Dualproblem zum Problem aus Aufgabe~1 aus.

\item Lösen Sie das Dualproblem aus Aufgabe~2 mit der Simplexmethode
und vergleichen Sie die Lösung mit Ihrer Lösung aus Aufgabe~1.

\end{enumerate}
\end{document}
