\documentclass[12pt]{article}

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\begin{document}

\title{Quantitative Methoden}
\author{Sommersemester 2022}
\date{Zur Besprechung am 24.06.2022}
\maketitle

\begin{enumerate}
\item Maximiere
\[
  z = 2 \, x_1 - x_2 + 2 \, x_3
\]
unter den Nebenbedingungen
\begin{gather*}
  2 \, x_1 + x_2 \leq 10 \,, \\
  x_1 + 2 \, x_2 - 2 \, x_3 \leq 20 \,, \\
  x_2 + 2 \, x_3 \leq 5 \,, \\
  x_1, x_2, x_3 \geq 0 \,.
\end{gather*}
\begin{enumerate}
\item Schreibe das Problem in der Standardform, d.h.,
\[
  \text{maximiere } z = \boldsymbol{c}^T \boldsymbol{x}
\]
unter den Nebenbedingungen
\begin{gather*}
  A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \,, \\
  \boldsymbol{x} \geq 0 \,.
\end{gather*}

\item Löse das Problem mit der Simplexmethode.
\end{enumerate}
\item Maximiere
\[
  z = 3 \, x_1 + 2 \, x_2 + x_3
\]
unter den Nebenbedingungen
\begin{gather*}
  4 \, x_1 + x_2 + x_3 = 30 \,, \\
  2 \, x_1 + 3 \, x_2 + x_3 \leq 60 \,, \\
  x_1 + 2 \, x_2 + 3 \, x_3 \leq 40 \,, \\
  x_1, x_2, x_3 \geq 0 \,.
\end{gather*}
\begin{enumerate}
\item Schreibe das Problem in der Standardform.

\item Löse das Problem mit der Simplexmethode.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}

%%% Zu kompliziert für diese Woche:
\item Betrachte die erste Aufgabe des letzten Übungsblattes: Minimiere
\[
  z = 8 \, x + 12 \, y
\]
unter den Nebenbedingungen
\begin{gather*}
  5 \, x + 2 \, y \geq 20 \,, \\
  4 \, x + 3 \, y \geq 24 \,, \\
  y \geq 2 \,, \\
  x, y \geq 0 \,.
\end{gather*}
\begin{enumerate}
\item Schreibe das Problem in der Standardform, d.h.,
\[
  \text{maximiere } z = \boldsymbol{c}^T \boldsymbol{x}
\]
unter den Nebenbedingungen
\begin{gather*}
  A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \,, \\
  \boldsymbol{x} \geq 0 \,.
\end{gather*}

\item Löse das Problem mit der Simplexmethode.
\end{enumerate}

\item Maximiere
\[
  z = 2 \, x_1 - x_2 + x_3
\]
unter den Nebenbedingungen
\begin{gather*}
  x_1 - x_2 \leq 1 \,, \\
  x_2 - x_3 \geq 1 \,, \\
  x_3 - x_1 \leq 3 \,, \\
  x_1 \geq -2 \,, \\
  x_2 \leq 1 \,, \\
  x_3 \leq 0 \,.
\end{gather*}

\begin{enumerate}
\item Schreibe das Problem in der Standardform.

\item Löse das Problem mit der Simplexmethode.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
