\documentclass[12pt]{article}

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\begin{document}

\title{Quantitative Methoden}
\author{Sommersemester 2022}
\date{Zur Besprechung am 17.06.2022}
\maketitle

\begin{enumerate}

\item Minimiere
\[
  z = 8 \, x + 12 \, y
\]
unter den Nebenbedingungen
\begin{gather*}
  5 \, x + 2 \, y \geq 20 \,, \\
  4 \, x + 3 \, y \geq 24 \,, \\
  y \geq 2 \,, \\
  x, y \geq 0 \,.
\end{gather*}

\item Eine Summe von  $12\,000\,$EUR soll investiert werden.
Anlage~A hat eine jährliche Verzinsung von  $6\%$ bei erhöhtem Risiko,
Anlage~B hat eine jährliche Verzinsung von $5\%$ bei geringem Risiko.
Aufgrund der Risikostruktur soll mindestens die Hälfte der
Gesamtsumme in Anlage~A fließen, aber nicht mehr als das Dreifache der
Summe, die in Anlage~B fließt.  Welches Portfolio maximiert den
Durchschnittlichen Zinssatz?

\item Maximiere
\[
  z = 3\,x_1 + 5 \, x_2
\]
unter den Nebenbedingungen
\begin{gather*}
2 \, x_1 + x_2 \geq 7 \,, \\
x_1 + x_2 \geq 6 \,, \\
x_1 + 3 \, x_2 \geq 9 \,, \\
x_1, x_2 \geq 0 \,.
\end{gather*}

\end{enumerate}
\end{document}
