\documentclass[12pt]{article}

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\begin{document}

\title{Quantitative Methoden}
\author{Sommersemester 2022}
\date{Zur Besprechung am 03.06.2022}
\maketitle

\begin{enumerate}
\item Das Produktionsniveau eines Gutes $p_n$ im Jahr $n$ setzt sich
zu jeweils $50\,\%$ des Niveaus der Jahre $n-1$ und $n-2$ zusammen.
\begin{enumerate}
\item Formulieren Sie eine entsprechende Differenzengleichung und
bestimmen Sie die allgemeine Lösung.
\item Bestimmen Sie die Lösung unter der Bedingung, das im ersten Jahr
ein Niveau von $100$, im zweiten Jahr von $106$ erreicht wird.
\item Welches Produktionsniveau wird für $n \to \infty$ erreicht?
\end{enumerate}


\item Gegeben ist die Differenzengleichung
\[
  y_{n+3} - y_{n+2} - y_{n+1} + y_n = -9 \, n \, 2^n \,.
\]
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen und
inhomogenen Gleichung.
\item Bestimmen Sie die Lösung, wenn die Anfangsbedingungen $y_0=4$,
$y_1=1$ und $y_2=6$ gegeben sind.
\end{enumerate}

\item Lösen Sie das System von Differenzengleichungen
\[
  y_{n+1} =
  \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\ 0 & 1
  \end{pmatrix}
  y_n
  +
  \begin{pmatrix}
    0 \\ 2
  \end{pmatrix}
\]
mit Anfangsbedingung
\[
  y_0 =
  \begin{pmatrix}
    -1 \\ 1
  \end{pmatrix} \,.
\]

\end{enumerate}

\end{document}
