\documentclass[12pt]{article}

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\begin{document}

\title{Quantitative Methoden}
\author{Sommersemester 2022}
\date{Zur Besprechung am 13.05.2022}
\maketitle

\begin{enumerate}
\item
Lösen Sie die Differentialgleichung
\[
  y'(t) - \frac{y(t)}{t} - t \, {\mathrm e}^{-t} = 0
\]
für $y(1)=1$.

\item Betrachten Sie zwei Szenarien für den Zusammenhang zwischen
Grenzkosten $k'(x)$ und den Durchschnittskosten $k(x)/x$ bei der
Herstellung eines Produktes:
\begin{itemize}
\item[(i)] $\displaystyle k'(x) = a \, \frac{k(x)}x$,

\item[(ii)] $\displaystyle k'(x) = \frac{k(x)-b}x$,

\end{itemize}
wobei $k(x)$ die Produktionskosten beschreibt, um $x$ Einheiten des
Produktes herzustellen und $a$ und $b$ positive Konstanten sind.

\begin{enumerate}
\item Lösen Sie die beiden Differentialgleichungen.
\item Beschreiben Sie die Bedeutung der beiden Konstanten $a$ und $b$
für die jeweiligen Modellannahmen.
\item Nehmen Sie an, dass das Unternehmen die Wahl zwischen beiden
Szenarien hat.  In jedem Fall sei $k(1000)=500$.  Welches der beiden
Szenarien ist unter welchen Bedingungen vorteilhafter?
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\end{document}
