\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{fullpage,amsmath,amsfonts}

\begin{document}

\title{Quantitative Methoden}
\author{Sommersemester 2022}
\date{Zur Besprechung am 06.05.2022}
\maketitle

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
Lösen Sie die Differentialgleichung
\[
  y'(t) = -4 \, \frac{t}{y(t)}
\]
für $y(0)=1$.

\item Für welche Zeiten $t$ ist die Lösung definiert?
\end{enumerate}

\item
Lösen Sie die Differentialgleichung
\[
  y'(t) = -y(t)^3
\]
für (a) $y(0)=0$ und (b) $y(0) = y_0 < 0$.


\item Für den Verlauf des Absatzes $y(t)$ eines Produkts in
Abhängigkeit der Zeit $t \geq 0$ wird eine so genannte
Gompertzfunktion angenommen:
\[
  y'(t) = a \, y(t) \, b^t
\]
mit $a>0$, $0<b<1$ und $y(0)=y_0>0$.

\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie $y(t)$.
\item Wie verhält sich die Lösung für große $t$?  
\item Wenn $b = \mathrm{e}^{-1}$, $y_0=50$ und
$\displaystyle \lim_{t\to\infty} y(t) = 100$, wie muss der Parameter
$a$ gewählt werden?
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}
