\documentclass[12pt]{article}

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\begin{document}

\title{Quantitative Methoden}
\author{Sommersemester 2022}
\date{Zur Besprechung am 29.04.2022}
\maketitle

\begin{enumerate}
\item Lösen Sie die Differenzengleichung
\[
  y_{n+1} = 2 \, y_n - 1 
\]
für (a) $y_0=1$ und (b) $y_0=2$.

\item Lösen Sie die Differenzengleichung
\[
  y_{n+1} = - y_n + n + 1
\]
für beliebige Werte für $y_0$.

\item Betrachten Sie das ``Cobweb-Model'' von Ezekiel aus der
Vorlesung (siehe Opitz \emph{et al}., 12. Auflage, Beispiel 24.4), wo
Nachfrage $x_n$, Angebot $y_n$ und Preis $p_n$ einer Ware sich wie
folgt entwickeln:
\begin{gather}
  y_{n+1} = a + b \, p_n \,, \\
  x_n = c - d \, p_n \,, \\
  x_n = y_n \,.
\end{gather}
Die Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ seien positiv.
\begin{enumerate}
\item Für welche Werte der Parameter ist der Gleichgewichtspreis
negativ?

\item Können Sie eine Situation beschreiben, in der ein negativer
Gleichgewichtspreis wirtschaftlich Sinn macht?
\end{enumerate}

\item Gegeben sei die Zahlenfolge
\[
  0, 1, 3, 7, 15, 31, \dots
\]
Geben Sie eine Differenzengleichung an, die die ersten sechs
Folgenglieder reproduziert.

\end{enumerate}

\end{document}
