\documentclass[12pt,a4paper]{article}

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\begin{document}

\title{Quantitative Methoden}
\author{Probeklausur}
\date{11.07.2022}
\maketitle

% \vspace*{\fill}
% {\baselineskip=40pt
% \begin{tabbing}\
% Student ID Number: \= \kill
% Nachname: \> \rule[-2pt]{10cm}{0.3pt} \\
% Vorname:  \> \rule[-2pt]{10cm}{0.3pt} \\
% Unterschrift: \> \rule[-2pt]{10cm}{0.3pt} \\
% %Code: \> \fbox{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5ex}{0pt}}
% %\fbox{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5ex}{0pt}}
% %\fbox{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5ex}{0pt}}
% %\fbox{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5ex}{0pt}}
% \end{tabbing}}
% \vspace*{\fill}

% \newpage
\begin{enumerate}

\item Betrachten Sie die allgemeine lineare Differenzengleichung
erster Ordnung,
\[
  y_{n+1} = a \, y_n + b \,.
\]
\begin{enumerate}
\item Wie lautet die Lösung dieser Differenzengleichung mit
Anfangswert $y_0$?

\emph{Hinweis:} Die geometrische Summenformel lautet, für $q \neq 1$,
\[
  q^0 + q^1 + \dots + q^{n} = \frac{q^{n+1}-1}{q-1} \,.
\]

\item Unter welchen Voraussetzungen ist die Lösung unbeschränkt für
$n \to \infty$?

\item Unter welchen Voraussetzungen konvergiert die Lösung für
$n \to \infty$?

\item Wenn $y_n \to y_*$ für $n \to \infty$, wie lautet $y_*$?
\end{enumerate}
\hfill(5+5+5+5)


\item Lösen Sie die Differentialgleichung
\begin{gather*}
  y'(t) = \frac{t^2}{y^2(t)} \,, \\
  y(0) = 1 \,.
\end{gather*}
\hfill(10)


\item Gegeben ist die Differentialgleichung
\begin{gather*}
  y'' + y' - 2 \, y = \mathrm{e}^{-x} \,, \\
  y(0) = 0 \,, \\
  y'(0) = 0 \,.
\end{gather*}
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie die allgemeine Lösung zur \emph{homogenen}
Gleichung.
\item Bestimmen Sie eine spezielle Lösung zur \emph{inhomogenen}
Gleichung.
\item Lösen Sie die Gleichung mit den gegebenen Anfangsdaten.
\item Wie verhält sich die Lösung wenn $x \to \infty$?
\end{enumerate}
\hfill(5+5+5)


\item Eine Möbelfabrik stellt Stühle und Tische her.  Jeder Tisch
benötigt $4$ Stunden in der Tischlerei und $2$ Stunden beim
Lackieren.  Jeder Stuhl benötigt $3$ Stunden in der Tischlerei und $1$
Stunde beim Lackieren.  In der kommenden Woche stehen $240$
Arbeitsstunden in der Tischlerei und $100$ Arbeitsstunden in der
Lackierei zur Verfügung.  Ein Tisch wirft einen Profit von $7\,$EUR
ab, jeder Stuhl einen Profit von $5\,$EUR.

Wie viele Stühle und Tische sollten in dieser Woche gefertigt werden,
so dass der Profit maximal wird?  Lösen Sie dieses Problem mit der
grafischen Methode.
\hfill(10)

\item 
Gegeben ist das Simplex-Tableau:
\begin{center}
\begin{tabular}{cccccc|c}
  $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $s_1$ & $s_2$ & $s_3$  \\
  \hline
  $2$ & $1$ & $0$ & $1$ & $0$ & $0$ & $10$ \\
  $1$ & $2$ & $-2$ & $0$ & $1$ & $0$ & $20$ \\
  $0$ & $1$ & $2$ & $0$ & $0$ & $1$ & $5$ \\
  \hline
  $-1$ & $1$ & $-2$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ 
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Welches lineare Optimierungsproblem wird mit diesem Tableau gelöst?
(Die Variablen $s_1$, $s_2$ und $s_3$ sind Schlupfvariablen und sollten
in der Antwort nicht mehr vorkommen.)

\item Lösen Sie dieses Optimierungsproblem mit der Simplexmethode.

\item Formulieren Sie das duale Problem.

\item Anhand ihrer Lösung zu (b) können Sie ablesen, welcher
Schattenpreis $0$ betragen muss, und welche duale Schlupfvariable für
das duale Problem Basisvariable ist.  Erklären Sie.
\end{enumerate}
\hfill(5+10+5+5)

\end{enumerate}
\end{document}
