\documentclass[12pt,a4paper]{article}

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\begin{document}

\title{Quantitative Methoden}
\author{Abschlussklausur}
\date{01.08.2022}
\maketitle

% \vspace*{\fill}
% {\baselineskip=40pt
% \begin{tabbing}\
% Student ID Number: \= \kill
% Nachname: \> \rule[-2pt]{10cm}{0.3pt} \\
% Vorname:  \> \rule[-2pt]{10cm}{0.3pt} \\
% Unterschrift: \> \rule[-2pt]{10cm}{0.3pt} \\
% %Code: \> \fbox{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5ex}{0pt}}
% %\fbox{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5ex}{0pt}}
% %\fbox{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5ex}{0pt}}
% %\fbox{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5ex}{0pt}}
% \end{tabbing}}
% \vspace*{\fill}

% \newpage
\begin{enumerate}


\item Betrachten Sie die allgemeine lineare Differentialgleichung
erster Ordnung,
\begin{gather*}
  y'(x) = a \, y(x) + b \,, \\
  y(0) = y_0 \,.
\end{gather*}

\begin{enumerate}
\item Lösen Sie die Differentialgleichung.\footnote{Nur zur Kontrolle:
die Lösung lautet, für den Fall $a \neq 0$,
\[
  y(t) = \Bigl( y_0 + \frac{b}a \Bigr) \,
         \textrm{e}^{ax} - \frac{b}a \,.
\]
Verwenden Sie diese Information in Ihrer Antwort nicht.}

\item Unter welchen Voraussetzungen ist die Lösung unbeschränkt für
$x \to \infty$?

\item Unter welchen Voraussetzungen konvergiert die Lösung für
$x \to \infty$?  Wie lautet der Grenzwert?

\end{enumerate}
\hfill(5+5+5)


% SHSC Beispiel 9.9.1
\item Lösen Sie die Differentialgleichung
\begin{gather*}
  y'(x) = \mathrm{e}^x \, y(x)^2 \,, \\
  y(0) = 1 \,.
\end{gather*}
\hfill(10)


\item Ein Spezialfall des Multiplikator--Akzelerator-Modells nimmt
folgende Beziehungen zwischen dem Volkseinkommen $Y_n$, dem Konsum
$C_n$, den Investitionen $I_n$ im Jahr $n$ sowie den zeitunabhängigen
Staatsausgaben $S$ an:
\begin{gather*}
  Y_n = C_n + I_n + S \,, \\
  C_n = \tfrac12 \, Y_{n-1} \,, \\
  I_n = b \, (C_n - C_{n-1}) \,.
\end{gather*}

\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass dieses Modell durch folgende
Differenzengleichung zweiter Ordnung beschrieben wird:
\[
  Y_n - \frac{1+b}2 \, Y_{n-1} + \frac{b}2 \, Y_{n-2} = S \,.
\]

\item Zeigen Sie, dass $Y_n=2S$ eine spezielle Lösung der
Differenzengleichung aus Teil (a) ist.  

\item Setzen Sie $b=3 - 2 \sqrt 2$ und geben Sie dann die allgemeine
Lösung zur \emph{homogenen} Differenzengleichung aus Teil (a) an.

\item \emph{Extrapunkte:} Der Parameter $b$ gibt an, wie stark
Investitionen auf Änderungen des Konsumverhaltens reagieren.  Die
Zentralbank kann diesen Koeffizienten durch ihre Zinspolitik in
gewissen Grenzen steuern.  Warum wäre die Zielgröße $b=3 - 2 \sqrt 2$
wie in Teil (c) für die Zentralbank eine gute Wahl?

\end{enumerate}

\hfill(5+5+5\textit{+5})

\item Minimieren Sie
\[
  z = 8 \, x + 12 \, y
\]
unter den Nebenbedingungen
\begin{gather*}
  5 \, x + 2 \, y \geq 20 \,, \\
  4 \, x + 3 \, y \geq 24 \,, \\
  y \geq 2 \,, \\
  x, y \geq 0 
\end{gather*}
mit der grafischen Methode.
\hfill(10)


\item Führen Sie einen Schritt der Simplexmethode durch und geben Sie
an, ob das Verfahren nach diesem Schritt bereits abbricht, oder ob
mindestens noch ein weiterer Schritt nötig ist.

\newcolumntype{B}{%
  >{\columncolor[gray]{.8}[.5\tabcolsep]}c}
\begin{center}
\begin{tabular}{cccBBB|c}
  $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $s_1$ & $s_2$ & $s_3$  \\
  \hline
  $2$ & $1$ & $0$ & $1$ & $0$ & $0$ & $10$ \\
  $1$ & $2$ & $-2$ & $0$ & $1$ & $0$ & $20$ \\
  $0$ & $1$ & $2$ & $0$ & $0$ & $1$ & $5$ \\
  \hline
  $-1$ & $1$ & $-2$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ 
\end{tabular}
\end{center}
\hfill (10)



\item Gegeben ist das Transportproblem mit $3$ Angebotsorten mit den
Angeboten
\[
  a_1 = 1 \,, \quad a_2 = 5 \,, \quad a_3 = 2
\]
und $3$ Nachfrageorten mit den Bedarfen
\[
  b_1= 3 \,, \quad b_2 = 1 \,, \quad b_3 = 4
\]
sowie die $3 \times 3$-Kostenmatrix
\[
  C =
  \begin{pmatrix}
    2 & 1 & 1.5 \\
    0.5 & 1 & 0.5 \\
    1 & 2 & 5
  \end{pmatrix} \,.
\]
\begin{enumerate}
\item Woran sehen Sie, dass das Problem lösbar ist?  Hat es
ganzzahlige Lösungen?

\item Bestimmen Sie eine zulässige Lösung mit der
Nordweststreckenregel.

\item Ein Kollege hat das duale Problem bereits gelöst und nennt Ihnen
die optimale Zielfunktion des dualen Problems, $z=11$.  Zeigen Sie mit
dieser Information, dass Ihre mit der Nordweststreckenregel bestimmte
Startlösung nicht optimal sein kann.

\item Bekannt seien außerdem die optimalen Schattenpreise: Auf der
Angebotsseite,
\[
  u_1 = 1 \,, \quad u_2 = 2 \,, \quad u_3 = 0 \,,
\]
auf der Nachfrageseite
\[
  v_1 = 1 \,, \quad v_2 = 2 \,, \quad v_3 = 2.5 \,.
\]

Sie haben die Möglichkeit, eine Produktionseinheit von einem
Angebotsort auf einen anderen Angebotsort zu verlagern.  Von wo nach
wo würden Sie verlagern, um die Transportkosten optimal zu senken?
Begründen Sie Ihre Antwort.

\end{enumerate}
\hfill(5+5+5+5)


\end{enumerate}
\end{document}
